球谐函数

实值的球谐函数

该模块主要定义了实值的球谐函数如下：

$$Y_{n,m}(\Omega) = \left\{\begin{matrix}
\sqrt{\frac{(2n+1)(n-m)!}{2\pi(n+m)!}}P_{n}^{m}(\mu)cos(m\varphi) & m>0\\
\sqrt{\frac{(2n+1)}{4\pi}}P_{n}(\mu) & m=0 \\
\sqrt{\frac{(2n+1)(n-|m|)!}{2\pi(n+|m|)!}}P_{n}^{|m|}(\mu)sin(|m|\varphi) & m<0
\end{matrix}\right.$$

勒让得多项式

LegendrePolynomial

连带勒让得多项式

AssociateLegendrePolynomial

球谐函数

SphericalHarmonics

球谐函数递推关系

球谐函数存在如下递推关系：

$$Ω_x\vec{Y}(Ω) = \mathbf{A}_x\vec{Y}(Ω)$$

$$Ω_y\vec{Y}(Ω) = \mathbf{A}_y\vec{Y}(Ω)$$

$$Ω_z\vec{Y}(Ω) = \mathbf{A}_z\vec{Y}(Ω)$$

其中矩阵 $ \mathbf{A}_x, \mathbf{A}_y, \mathbf{A}_z$ 分别为 $x,y,z$ 方向上的递推关系矩阵，又被称为角度Jacobian矩阵。

球谐函数正交关系

定义的球谐函数是正交归一的，内积是一个单位矩阵
$$ \mathbf{A} = \int_{\Omega} \vec{Y}(Ω) \vec{Y}^{T}(Ω) d\Omega = \mathbf{I}$$

x方向递推关系

定义 $Y_{n,m}^{’}$ 为不带归一化系数的球谐函数，由连带勒让得多项式和三角函数的乘积组成，其递推关系为：

m > 0
$$ \eta Y_{n,m}^{’}= \frac{1}{2(2n+1)} [Y_{n-1,m+1}^{’} - Y_{n+1,m+1}^{’} + (n-m+2)(n-m+1) Y_{n+1,m-1}^{’} - (n+m)(n+m-1) Y_{n-1,m-1}^{’}]$$
m = 0
$$ \eta Y_{n,0}^{’}= \frac{1}{2n+1} [Y_{n-1,1}^{’} - Y_{n+1,1}^{’}]$$
m = -1
$$ \eta Y_{n,-1}^{’}= \frac{1}{2(2n+1)} [Y_{n-1,-2}^{’} - Y_{n+1,-2}^{’}]$$
m < -1
$$ \eta Y_{n,m}^{’}= \frac{1}{2(2n+1)} [Y_{n-1,m-1}^{’} - Y_{n+1,m-1}^{’} + (n+m+2)(n+m+1) Y_{n+1,m+1}^{’} - (n-m)(n-m-1) Y_{n-1,m+1}^{’}]$$

通过以上递推关系式，可以直接得到递推关系矩阵$\mathbf{A}_x$。
根据球谐函数正交关系可知 $\mathbf{A}_x$ 可以表示为：
$$ \mathbf{A}_x = \int_{\Omega} Ω_x\vec{Y}(Ω) \vec{Y}^{T}(Ω) d\Omega$$

$\mathbf{A}_x$ 的稀疏矩阵图可以表示为

y方向递推关系

非归一化球谐函数 $Y_{n,m}^{’}$ 在y方向的递推关系为

m > 1
$$ \xi Y_{n,m}^{’}= \frac{1}{2(2n+1)} [Y_{n-1,-m-1}^{’} - Y_{n+1,-m-1}^{’} + (n+m+2)(n+m+1) Y_{n+1,-m+1}^{’} - (n-m)(n-m-1) Y_{n-1,-m+1}^{’}]$$
m = 1
$$ \xi Y_{n,-1}^{’}= \frac{1}{2(2n+1)} [Y_{n-1,-2}^{’} - Y_{n+1,-2}^{’}]$$
m = 0
$$ \xi Y_{n,0}^{’}= \frac{1}{2n+1} [Y_{n-1,-1}^{’} - Y_{n+1,-1}^{’}]$$
m < 0
$$ \xi Y_{n,m}^{’}= \frac{1}{2(2n+1)} [Y_{n+1,-m+1}^{’} - Y_{n-1,-m+1}^{’} + (n+m+2)(n+m+1) Y_{n+1,-m-1}^{’} - (n-m)(n-m-1) Y_{n-1,-m-1}^{’}]$$

递推关系矩阵$ \mathbf{A}_y$为：
$$ \mathbf{A}_y = \int_{\Omega} Ω_y\vec{Y}(Ω) \vec{Y}^{T}(Ω) d\Omega$$

$ \mathbf{A}_y$的稀疏矩阵图为

z方向递推关系

非归一化球谐函数 $Y_{n,m}^{’}$ 在z方向的递推关系为
$$\mu Y_{n,m}^{’}=\frac{1}{2n+1}[(n-|m|+1)Y_{n+1,m}^{’}+(n+|m|)Y_{n-1,m}^{’}]$$

递推关系矩阵$ \mathbf{A}_y$为：

$$ \mathbf{A}_{z} = \int_{\Omega} Ω_z\vec{Y}(Ω) \vec{Y}^{T}(Ω) d\Omega$$

$ \mathbf{A}_z$的稀疏矩阵图为

边界上的角度矩阵

边界角度矩阵

边界上的角度矩阵是$x,y,z$方向上的角度矩阵在法线上的投影，定义为
$$ \mathbf{A}_{n} = \int_{\Omega} n \cdot \Omega\vec{Y}(Ω) \vec{Y}^{T}(Ω) d\Omega = n_x \mathbf{A}_{x} + n_y \mathbf{A}_{y} + n_z \mathbf{A}_{z} $$

法向量 $n = \frac{\sqrt{3}}{3}[1,1,1]^{T}$ 时，矩阵的稀疏矩阵图为