中子输运方程是一个双曲方程，在数值计算中只需要给定入流边界条件就可以了，通常情况中子输运方程的边界条件包括真空边界条件，即入流恒为零;另一种边界条件为反射边界条件，即如流量等于其关于切线的对称角的出流量。在处理有限元方法的边界条件时，通常是将边界条件直接带入变分之后的边界积分项，然后对带边界条件的变分方程进行离散。以下对球谐函数方法的这两种边界条件进行处理。
真空边界条件
$$\phi(r,Ω) =0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, r \in \Gamma_{v},n\cdot \Omega <0$$
其中$\Gamma_{v}$为真空边界; $n$为边界外法线方向。对于球谐函数方法有
$$\int_{n\cdot \Omega <0}n\cdot \Omega\vec{Y}(Ω)\phi(r,Ω) dΩ = 0$$
反射边界条件
$$\phi(r,Ω) =\phi(r,\mathbf{H}Ω) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, r \in \Gamma_{r},n\cdot \Omega <0$$
其中$\Gamma_{r}$为反射边界，$\mathbf{H}$为反射矩阵$\mathbf{H}=\mathbf{I}-2nn^{T}$。对于球谐函数方法，将其用球谐函数展开，得
$$[\vec{Y}(Ω)]^{T}\vec{\phi}_{r}(r)= [\vec{Y}(\mathbf{H}Ω)]^{T}\vec{\phi}(r)$$
所以
$$\vec{\phi}_{r}(r) = \mathbf{R}\vec{\phi}(r)$$
其中
$$\mathbf{R}=\int_{Ω}\vec{Y}(Ω)[\vec{Y}(\mathbf{H}Ω)]^{T}dΩ$$
X方向
$$\vec{n}_{x}^{+} = [1,0,0]^{T}$$
$$\vec{n}_{x}^{-} = [-1,0,0]^{T}$$
$$\mathbf{H}_x=\mathbf{I}-2\vec{n}_x\vec{n}_x^{T} = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
$$\mathbf{R}_x=\int_{Ω}\vec{Y}(Ω)[\vec{Y}(\mathbf{H}_xΩ)]^{T}dΩ = $$
Y方向
$$\vec{n}_y^{+} = [0,1,0]^{T}$$
$$\vec{n}_y^{-} = [0,-1,0]^{T}$$
$$\mathbf{H}_y=\mathbf{I}-2\vec{n}_y\vec{n}_y^{T} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\ 0 & -1 & 0\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
Z方向
$$\vec{n}_z^{+} = [0,0,1]^{T}$$
$$\vec{n}_z^{-} = [0,0,-1]^{T}$$
$$\mathbf{H}_z=\mathbf{I}-2\vec{n}_z\vec{n}_z^{T} = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix}$$
黎曼分解
边界上的角度雅克比矩阵为
$$\mathbf{A}_{n}=n_x\mathbf{A}_{x}+n_y\mathbf{A}_{y}+n_z\mathbf{A}_{z}$$
对其进行特征值分解，得
$$\mathbf{A}_{n}=\mathbf{V}Λ\mathbf{V}^{T}=\mathbf{V}(Λ^{+}+Λ^{-})\mathbf{V}^{T}=\mathbf{A}_{n}^{+}+\mathbf{A}_{n}^{-}$$
其中$Λ$特征值对角矩阵，$Λ^{+}$为该矩阵中特征值为正的分量，$Λ^{-}$为该矩阵中特征值为负的分量；$\mathbf{V}$为特征向量形成的矩阵。
$$\mathbf{A}_{n}^{+}=\mathbf{V}Λ^{+}\mathbf{V}^{T}$$
$$\mathbf{A}_{n}^{-}=\mathbf{V}Λ^{-}\mathbf{V}^{T}$$
边界积分项
通过特征值分解，边界积分项可以分解为入流部分与出流部分
$$\mathbf{B}_{Γ}\mathbf{X}\mathbf{A}_{n} = \mathbf{B}_{Γ}\mathbf{X}\mathbf{A}_{n}^{+} + \mathbf{B}_{Γ}\mathbf{X}\mathbf{A}_{n}^{-} $$
其中$\mathbf{B}_{Γ}$是空间边界上的积分， $\mathbf{B}_{Γ}\mathbf{X}\mathbf{A}_{n}^{-} $表示入流，$\mathbf{B}_{Γ}\mathbf{X}\mathbf{A}_{n}^{+} $ 表示出流，所以对于真空边界条件与反射边界条件可以表示为
真空边界
$$\mathbf{B}_{Γ}\mathbf{X}\mathbf{A}_{n}^{-} = 0$$反射边界
$$\mathbf{B}_{Γ}\mathbf{X}\mathbf{A}_{n}^{-} = \mathbf{B}_{Γ}\mathbf{X}\mathbf{R}\mathbf{A}_{n}^{-}$$