单元变换
有限元方法求解单元上的积分，是通过坐标变换将所有单元变换为一个标准单元，然后在标准单元上进行数值积分。
单元节点坐标
单元上节点的实际坐标定义为 $\mathbf{C}$
$$\mathbf{C} =
\begin{bmatrix}
x_1 & y_1 & z_1\\
x_2 & y_2 & z_2\\
x_3 & y_3 & z_3\\
\vdots & \vdots & \vdots \\
x_n & y_n & z_n
\end{bmatrix}$$
单元形状函数
单元形状函数定义为 $\vec{N}$
$$\vec{N} =
\begin{bmatrix}
N_1\\
N_2\\
N_3 \\
\vdots \\
N_n
\end{bmatrix}$$
全局坐标
单元中任意一点的全局坐标定义为 $\vec{X}$
$$\vec{X} =
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}$$
全局坐标与节点坐标以及形状函数存在以下关系
$$\vec{X}^T = \vec{N}^{T}\mathbf{C}$$
Jacobian 矩阵
$$\mathbf{J} = \frac{\partial \vec{X}^{T}}{\partial \vec{λ}} = \frac{\partial \vec{N}^{T}}{\partial \vec{λ}}\mathbf{C}$$
其中$\vec{λ}$是坐标变换之后的局部坐标。
形状函数对局部坐标的导数
$$\frac{\partial}{\partial \vec{λ}} = \frac{\partial \vec{X}^{T}}{\partial \vec{λ}} \frac{\partial}{\partial \vec{X}} = \mathbf{J} \frac{\partial}{\partial \vec{X}} $$
形状函数对实际坐标的导数
$$ \frac{\partial}{\partial \vec{X}} = \mathbf{J}^{-1}\frac{\partial}{\partial \vec{λ}}$$
积分变换
$$\int\int \int dx dy dz = \int\int \int det|\mathbf{J}|dλ_1dλ_2 dλ_3$$
数值积分
$$\int\int \int f(λ_1,λ_2,λ_3)dλ_1dλ_2dλ_3 = \sum_{i=1}^{nq} w_i f(λ_1,λ_2,λ_3)_i $$