SGS方法是A.G.Buchan在文献 1 中提出的对一阶中子输运方程稳定的有限元方法。然后在文献 2 中提出了一种更加高效的方法叫 ESGS 方法。在此基础上我提出了一种快速的SGS方法叫FSGS方法，这种方法比ESGS效率要高很多，因为不用进行特征值分解和矩阵求逆。
SGS 方法
SGS(Sub-Grid Scale)方法是将间断有限元与连续有限元结合起来的一种方法，在不增加变量的情况下能够保证方程的稳定性。该方法将变量分为连续部分与间断部分之和，其中$ ϕ_c$为连续部分，$ϕ_d$为间断部分，最终会形成两个方程
$$ϕ = ϕ_c+ϕ_d$$
其弱形式为
$$(φ_c,Ω⋅∇ϕ)+(φ_c,σϕ) = (φ_c,s) \tag{$1$}$$
$$(φ_d,Ω⋅∇ϕ)+(φ_d,σϕ) = (φ_d,s) \tag{$2$}$$
其中方程1是针对全局的，对$ϕ$分部积分
$$<φ_c,Ω⋅nϕ> - (Ω⋅∇φ_c,ϕ)+(φ_c,σϕ) = (φ_c,s)$$
方程2是针对每个单元的，对$ϕ_d$分部积分
$$<φ_d,Ω⋅nϕ_d> - (Ω⋅∇φ_d,ϕ_d)+(φ_d,Ω⋅∇ϕ_c)+(φ_d,σϕ) = (φ_d,s)$$
SGS方法假设对于区域边界，有如下边界条件
$$<φ,Ω⋅nϕ_c>^{-} = G$$
$$<φ,Ω⋅nϕ_d> = 0$$
对于内部单元边界
$$<φ_d,Ω⋅nϕ_d>^{-} = 0$$
所以带入边界条件得
$$<φ_c,Ω⋅nϕ_c>^{+} - (Ω⋅∇φ_c,ϕ)+(φ_c,σϕ) = (φ_c,s) - G \tag{$3$}$$
$$<φ_d,Ω⋅nϕ_d>^{+} - (Ω⋅∇φ_d,ϕ_d)+(φ_d,Ω⋅∇ϕ_c)+(φ_d,σϕ) = (φ_d,s) \tag{$4$}$$
定义矩阵
$$A = - (Ω⋅∇φ_c,φ_c)+(φ_c,σφ_c) + <φ_d,Ω⋅nφ_d>^{+}$$
$$B = - (Ω⋅∇φ_c,φ_d)+(φ_c,σφ_d)$$
$$C = (φ_d,Ω⋅∇φ_c)+(φ_d,σφ_c)$$
$$D = - (Ω⋅∇φ_d,φ_d)+(φ_d,σφ_d) + <φ_d,Ω⋅nφ_d>^{+} $$
$$s_c = (φ_c,s) - G$$
$$s_d = (φ_d,s)$$
所以
$$Aϕ_c+Bϕ_d = s_c \tag{$5$}$$
$$Cϕ_c+Dϕ_d = s_d \tag{$6$}$$
由方程 6 得
$$\phi_d=D^{-1}(s_d - C\phi_c)$$
将其带入方程5中，得
$$[A-BD^{-1}C ]\phi_c= s_c-BD^{-1}s_d \tag{$7$}$$
求解方程 7 得到解 $\phi_c$
FSGS 方法
在SGS方法中，虽然矩阵 $D$ 只用在每个小单元上求解，但在每个单元上需要求 $<φ_d,Ω⋅nφ_d>^{+}$，所以需要在每个单元上进行黎曼分解，而且在每个单元上都需要求 $D^{-1}$，这两个过程都是比较耗时的。在FSGS方法中提出了一种新的方法使得矩阵 $D$ 变为一个对角矩阵，并且过程中不需要进行特征值分解，所以效率会提高很多。
该方法在每个单元上假设满足$Ω\cdot ∇\phi_d = c\phi_d$, 其中c为任意常数，所以方程 2 变为
$$(φ_d,(c+σ)\phi_d) + (φ_d,Ω⋅∇ϕ_c)+(φ_d,σϕ_c) = (φ_d,s) $$
所以矩阵 $D$ 变为以下形式
$$D = (φ_d,(c+σ)φ_d)$$
然后通过质量矩阵集中技巧将矩阵 $D$ 对角化(对角元素等于每一行元素之和)，得到对角矩阵 $D_d$，然后将该矩阵带入方程 7 中进行求解。
$$[A-BD_d^{-1}C ]\phi_c= s_c-BD_d^{-1}s_d \tag{$8$}$$
Buchan A G, Candy A S, Merton S R, et al. The Inner-Element Subgrid Scale Finite Element Method for the Boltzmann Transport Equation[J]. Nuclear Science & Engineering the Journal of the American Nuclear Society, 2010, 1030(2):1031-1031.
Buchan A G, Pain C C. An efficient space-angle subgrid scale discretisation of the neutron transport equation[J]. Annals of Nuclear Energy, 2016, 94:440-450.