输运方程变分形式的守恒关系

方程变分形式的妙处在于很容易得到物理上的守恒关系，守恒关系包括全局守恒和局部守恒。前者表示在整个求解区域上产生的粒子与消失的粒子相等，后者表示在一个单元上产生和消失的粒子相等。守恒关系为：消失=产生，消失包括：泄露，反应，产生由源项产生。以下对输运方程的各种变分形式的守恒形式进行说明

CG 方程

中子输运方程连续有限元的变分形式为

$<φ,Ω⋅nϕ> - (Ω⋅∇φ,ϕ)+(φ,σϕ) = (φ,s)$

令检验函数 $φ$ 在整个区域中恒为 1，那么

$<1,ω⋅nϕ> +(1,σϕ) = (1,s)$

该式第一项为泄漏率，第二项为反应消失率，右端项为产生率

SAAF方程的变分形式为

$<φ,Ω⋅nϕ> + (Ω⋅∇φ, \frac{1}{σ}Ω⋅∇ϕ)+(φ,σϕ) = (Ω⋅∇φ,\frac{1}{σ}s)+(φ,s)$

令检验函数 $φ$ 在整个区域中恒为 1，那么

$<1,ω⋅nϕ> +(1,σϕ) = (1,s)$

满足守恒关系

LS 方程的变分形式为

$$(Ω⋅∇φ,Ω⋅∇ϕ) + (σφ,Ω⋅∇ϕ) + (Ω⋅∇φ,σϕ) + (σφ,σϕ) - ^{-} = (Ω⋅∇φ,s)+ (σφ,s)$$

令检验函数 $φ$ 在整个区域中恒为 1，那么
$$<σ,Ω⋅nϕ> + (σ,σϕ) - ^{-} = (σφ,s)$$

如果在整个区域上 $σ$ 为大于零的常数，并且 $c=σ$ ；方程才是全局守恒的，否则不是。

对于真空区域
$$(Ω⋅∇φ,Ω⋅∇ϕ) - ^{-} = 0 $所以$ (Ω⋅∇φ,Ω⋅∇ϕ)+ (cφ,Ω⋅∇ϕ) + (Ω⋅∇φ,cϕ)-^{+} + ^{-} = 0 $令检验函数 $φ$在整个区域中恒为 1，那么$ (c,Ω⋅∇ϕ)-^{+} + ^{-} = 0$$
只有当 $Ω⋅∇ϕ $ 恒等于零时，才满足守恒关系。即在真空区域要恒满足输运方程 $Ω⋅∇ϕ=0$，数值误差为0。

SUPG 方程的变分形式为

$<φ,Ω⋅nϕ> -(Ω⋅∇φ,ϕ)+(φ,σϕ) + (τΩ⋅∇φ,Ω⋅∇ϕ)+(τΩ⋅∇φ,σϕ) = (φ,s)+ (τΩ⋅∇φ,s)$

令检验函数 $φ$ 在整个区域中恒为 1，那么

$<1,ω⋅nϕ> +(1,σϕ) = (1,s)$

满足守恒关系

SGS 方程的变分形式为
$<φ_c,Ω⋅nϕ> - (Ω⋅∇φ_c,ϕ)+(φ_c,σϕ) = (φ_c,s)$

$<φ_d,Ω⋅nϕ_d> - (Ω⋅∇φ_d,ϕ_d)+(φ_d,Ω⋅∇ϕ_c)+(φ_d,σϕ) = (φ_d,s)$

令检验函数 $φ_c$ 在整个区域中恒为 1，那么
$<1,ω⋅nϕ> +(1,σϕ) = (1,s)$

满足全局守恒关系

令检验函数 $φ_d$ 在单元中恒为 1，那么
$<1,ω⋅nϕ_d> +(1,Ω⋅∇ϕ_c)+(1,σϕ) = (1,s)$

$<1,ω⋅nϕ> +(1,σϕ) = (1,s)$
满足局部守恒关系