由于一阶中子输运方程是一个双曲方程，要用有限元方法求解该方程，必须使用一种迎风格式的方法或将该方程变为二阶椭圆形式的方程。以下对二阶形式的中子输运方程进行研究，主要包括自共轭形式的中子输运方程(SAAF)；最小二乘形式的中子输运方程(LS)；流线扩散形式(SUPG)。
SAAF
该方法使用角通量方程(Angular Flux Equation(AFE))将一阶方程中的泄露项转变为二阶形式。
中子输运方程
$$Ω⋅∇ϕ+σϕ = s \tag{$1$}$$
弱形式
$$(φ,Ω⋅∇ϕ)+(φ,σϕ) = (φ,s) \tag{$2$}$$
分部积分
$$<φ,Ω⋅nϕ> - (Ω⋅∇φ,ϕ)+(φ,σϕ) = (φ,s) \tag{$3$}$$
角通量方程
$$ϕ = \frac{1}{σ}(s-Ω⋅∇ϕ) \tag{$4$}$$
SAAF弱形式
将角通量方程(4)带入原方程的弱形式(3)中的一阶导数项，得
$$<φ,Ω⋅nϕ> + (Ω⋅∇φ, \frac{1}{σ}Ω⋅∇ϕ)+(φ,σϕ) = (Ω⋅∇φ,\frac{1}{σ}s)+(φ,s) \tag{$5$}$$
该形式由于存在 $\frac{1}{σ}$，所以不能对真空区域进行求解。
处理真空SAAF-VT
将$\frac{1}{σ}Ω⋅∇ϕ$变为 $\tauΩ⋅∇ϕ+ (\tau σ - 1)ϕ$，其中 $\tau = min( \frac{1}{σ}, \frac{h}{c})$，其中 $h$ 为网格的特征大小，c为一个常数，通常取2。所以方程 (5) 变为
$$<φ,Ω⋅nϕ> + (Ω⋅∇φ, \tauΩ⋅∇ϕ) + (Ω⋅∇φ, (\tau σ -1)ϕ)+(φ,σϕ) = (Ω⋅∇φ,\frac{1}{σ}s)+(φ,s) \tag{$5$}$$
不过以下文献提到该方法只对$S_N$方法有效，对$P_N$方法不对。主要是因为一阶$P_N$公式在真空区域是病态的，因为在高维(2d,3d)情况下，角度JACOBI矩阵是奇异的。
Laboure V M. Improved fully-implicit spherical harmonics methods for first and second order forms of the transport equation using Galerkin Finite Element[D]. 2016.
LS
最小二乘公式的推导方式有很多种，可以从变分原理出发，也可以从加权残值法出发。以下从最小二乘泛函出发推导。令 $T = Ω⋅∇+σ$, 定义输运方程的全局残差的二范数
$$R = \int_v \int_{Ω} (T\phi - s)^2dΩdV$$
对输运方程求解就是要使残差最小，即该泛函的一阶变分为零，所以
$$δR = 2 \int_v \int_{Ω} Tδϕ(T\phi - s)dΩdV = 0$$
所以，最小二乘方法的弱形式为
$$(Tδϕ,Tϕ) = (Tδϕ,s)$$
令 $φ = δϕ$，所以
$$(Ω⋅∇φ,Ω⋅∇ϕ) + (σφ,Ω⋅∇ϕ) + (Ω⋅∇φ,σϕ) + (σφ,σϕ)= (Ω⋅∇φ,s)+ (σφ,s)$$
边界条件
最小二乘方法的边界条件不好处理，对于$S_N$方法可以全部使用强制边界条件；而对于$P_N$方法，需要使用弱形式的边界条件，即在原来变分形式中减去边界上的变分的 $c$ 倍，即
$$(Ω⋅∇φ,Ω⋅∇ϕ) + (σφ,Ω⋅∇ϕ) + (Ω⋅∇φ,σϕ) + (σφ,σϕ) -
其中c是一个常数，c的选取是一个很重要的问题。
与SAAF等价条件
如果$σ$在区域中是一个常数，则对最小二乘方程乘以 $\frac{1}{σ}$，则方程变为
$$<φ,Ω⋅nϕ> + (Ω⋅∇φ, \frac{1}{σ}Ω⋅∇ϕ)+(φ,σϕ) - <\frac{c}{σ}φ,ϕ-g>^{-}= (Ω⋅∇φ,\frac{1}{σ}s)+(φ,s) $$
所以当 $c = σ$时，LS方程与SAAF方程是完全等价的，此时必须满足 $σ>0$，所以不适用于真空区域。
与SAAF-VT等价条件
当 $c = \frac{1}{\tau} = max(σ,\frac{c_s}{h})$ 时，最小二乘方程与SAAF-VT等价，此时可以用于真空区域求解。
SUPG
流线扩散方法属于Petrov Galerkin 方法，该方法的检验函数与试探函数所在的空间不一样，检验函数所在的空间为 $φ+τΩ⋅∇φ$，所以输运方程的弱形式为
$$(φ,Ω⋅∇ϕ)+(φ,σϕ) + (τΩ⋅∇φ,Ω⋅∇ϕ)+(τΩ⋅∇φ,σϕ) = (φ,s)+ (τΩ⋅∇φ,s)$$
与SAAF等价条件
如果 $\tau = \frac{1}{σ}$，则该式与SAAF一样
$$<φ,Ω⋅nϕ> + (Ω⋅∇φ, \frac{1}{σ}Ω⋅∇ϕ)+(φ,σϕ) = (Ω⋅∇φ,\frac{1}{σ}s)+(φ,s) $$
与SAAF-VT等价条件
如果 $\tau = min( \frac{1}{σ}, \frac{h}{c})$，则该式与SAAF-VT一样。即 SUPG方法中$\tau$取值与SAAF-VT中取值是一样的。实际上SAAF-VT方法就是 SUPG方法。