勒让得多项式
定义式
$$P_n(\mu) = \frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}(\mu^2-1)^{n}}{d\mu^{n}}$$
正交关系式
$$\int_{-1}^{1}P_n(\mu)P_m(\mu)d\mu = \frac{2}{2n+1}δ_{nm}$$
递推关系式
$$\mu P_n(\mu) = \frac{1}{2n+1}[nP_{n-1}(\mu) + (n+1)P_{n+1}(\mu)]$$
加法定理
$$P_n(\mu_0) = P_n(\mu)P_n(\mu^{‘}) + 2\sum_{m=1}^{n}\frac{(n-m)!}{(n+m)!}P_{n}^{m}(\mu)cos(m(φ-\varphi^{‘}))$$
多项式系数
| 1 | $x$ | $x^2$ | $x^3$ | $x^4$ | $x^5$ | $x^6$ | $x^7$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | |||||||
| 2 | 0 | 1 | ||||||
| 3 | $-\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{2}$ | ||||||
| 4 | $-\frac{3}{2}$ | $\frac{5}{2}$ | ||||||
| 5 | $\frac{3}{8}$ | $-\frac{30}{8}$ | $\frac{35}{8}$ | |||||
| 6 | $\frac{15}{8}$ | $-\frac{70}{8}$ | $\frac{63}{8}$ | |||||
| 7 | $-\frac{5}{16}$ | $\frac{105}{16}$ | $-\frac{315}{16}$ | $\frac{231}{16}$ | ||||
| 8 | $-\frac{35}{16}$ | $\frac{315}{16}$ | $-\frac{693}{16}$ | $\frac{429}{16}$ |
图像
连带勒让得多项式
定义式
$$P_{n}^{m}(\mu) = (-1)^{m}(1-\mu^{2})^{m/2}\frac{d^{m}P_{n}(\mu)}{d\mu^{m}}$$
正交关系
$$\int_{-1}^{1}P_n^m(\mu)P_{n’}^{m’}(\mu)d\mu = \frac{2}{2n+1}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}δ_{nn’}δ_{mm’}$$
递推关系
$$\mu P_n^m(\mu) = \frac{1}{2n+1}[(n+m)P_{n-1}^m(\mu) + (n-m+1)P_{n+1}^m(\mu)]$$
$$\sqrt{1-\mu^{2}}P_n^m(\mu)=\frac{1}{2n+1}[P_{n-1}^{m+1}(\mu)-P_{n+1}^{m+1}(\mu)]$$
$$\sqrt{1-\mu^{2}}P_n^m(\mu)=\frac{1}{2n+1}[(n-m+2)(n-m+1)P_{n+1}^{m-1}(\mu)-(n+m)(n+m-1)P_{n-1}^{m-1}(\mu)]$$
计算
$$P_n^n(\mu)=(-1)^n(2n-1)!!(1-\mu^2)^{n/2}$$
$$P_{n+1}^{n+1}(\mu)=-(2n-1)\sqrt{1-\mu^2}P_n^n(\mu)$$
$$P_{n+1}^n(\mu)=\mu(2n-1)P_n^n(\mu)$$
$$(n-m)P_n^m(\mu)=\mu(2n-1)P_{n-1}^m(\mu) - (n+m-1)P_{n-2}^m(\mu)$$
图像
