偏微分方程简介

偏微分方程分类

偏微分方程主要分为

• 双曲方程
• 椭圆方程

• 抛物方程

  每一种方程都对应不同的物理过程，每一种方程所需要的初始/边界条件数目不同，每一种方程的数值求解方法不同。

  • 双曲方程描述信息以一定速度沿某个方向传播，解是很多简单波的叠加。
  • 椭圆方程描述信息以一定速度沿所有方向传播，只存在于稳态，非稳态不可能是椭圆方程。
  • 抛物方程描述信息沿下游传播，可以逐步求解。通常描述瞬态问题。

一阶方程

$$a_0+a_1\frac{∂{u}}{∂{x_1}} + …+a_d\frac{∂{u}}{∂{x_{d}}} = 0$$
一阶方程一定是双曲型方程。

二阶方程

$$\sum_{i,j=1}^{D}a_{ij}\frac{∂^{2}u}{∂x_i∂x_j}+\sum_{k}^{D}b_k\frac{∂u}{∂x_k}+cu+d = 0$$

系数矩阵$A = \{a_{ij}\} \in R^{D × D}$，该矩阵是对称的
方程的性质由该矩阵的特征值决定，如果$D$个特征值全为正，则该方程为椭圆方程；如果$D-1$个特征值为正，另$1$个特征值为负，则该方程为双曲方程；如果$D-1$个特征值为正，另$1$个特征值为$0$，则该方程为抛物方程；

偏微分方程的几何解释

图中，domain of dependence是会对点P处的信息产生影响的区域，zone of influence是点P会影响的区域。

在有限元方法中，某一点的影响点集包含围绕着这一点的所有点，这对椭圆方程是适用的；对双曲方程并不适用，因为在双曲方程中，对某一点的影响点集应该只是上游区域的点，不应该包含下游区域的点。