SGS(Sub-Grid Scale)方法是将间断有限元与连续有限元结合起来的一种方法，在不增加变量的情况下能够保证方程的稳定性。
输运方程
$$Ω⋅∇ϕ+σϕ = s$$
假设
将通量分为连续部分与间断部分之和，其中$ ϕ_c$为连续部分，$ϕ_d$为间断部分
$$ϕ = ϕ_c+ϕ_d$$
弱形式
在方程两端同时乘以基函数，在进行积分
$$(φ_c,Ω⋅∇ϕ)+(φ_c,σϕ) = (φ_c,s)\tag{$1$}$$
$$(φ_d,Ω⋅∇ϕ)+(φ_d,σϕ) = (φ_d,s)\tag{$2$}$$
分部积分
对方程1的$ϕ$分部积分
$$<φ_c,Ω⋅nϕ> - (Ω⋅∇φ_c,ϕ)+(φ_c,σϕ) = (φ_c,s)$$
对方程2的$ϕ_d$分部积分
$$<φ_d,Ω⋅nϕ_d> - (Ω⋅∇φ_d,ϕ_d)+(φ_d,Ω⋅∇ϕ_c)+(φ_d,σϕ) = (φ_d,s)$$
边界条件
外边界
$$<φ,Ω⋅nϕ_c>^{-} = G$$
$$<φ,Ω⋅nϕ_d> = 0$$
内边界
$$<φ_d,Ω⋅nϕ_d>^{-} = 0$$
带入方程
$$<φ_c,Ω⋅nϕ_c>^{+} - (Ω⋅∇φ_c,ϕ)+(φ_c,σϕ) = (φ_c,s) - G$$
$$<φ_d,Ω⋅nϕ_d>^{+} - (Ω⋅∇φ_d,ϕ_d)+(φ_d,Ω⋅∇ϕ_c)+(φ_d,σϕ) = (φ_d,s)$$
矩阵形式
离散之后，可以将以上方程写为矩阵形式
$$\begin{bmatrix} A & B\\C & D\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_c \ \phi_d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_c \ s_d\end{bmatrix}$$
由方程2得
$$\phi_d=D^{-1}(s_d - C\phi_c)$$
将其带入方程1中，得
$$[A-BD^{-1}C ]\phi_c= s_c-BD^{-1}s_d$$
其中矩阵的单元矩阵形式为：
内部
$$A_e = - (Ω⋅∇φ_c,φ_c)+(φ_c,σφ_c)$$
$$B_e = - (Ω⋅∇φ_c,φ_d)+(φ_c,σφ_d)$$
$$C_e = (φ_d,Ω⋅∇φ_c)+(φ_d,σφ_c)$$
$$D_e = - (Ω⋅∇φ_d,φ_d)+(φ_d,σφ_d) + <φ_d,Ω⋅nφ_d>^{+} $$
边界
$$A_e = <φ_c,Ω⋅nφ_c>^{+}$$
单元矩阵
定义
$$L = (φ,Ω⋅∇φ)$$
$$R = (φ,σφ)$$
$$O = <φ,Ω⋅nφ>$$
$$O^{+} = <φ,Ω⋅nφ>^{+}$$
$$O^{-} = <φ,Ω⋅nφ>^{-}$$
所以
$$L+L^{T} = O$$
$$A = -L^{T}+R$$
$$B = A$$
$$C = L+R = A + O$$
$$D = A + O^{+}$$
矩阵运算 ？
定义单元矩阵
$$K_e = A-BD^{-1}C$$
$$K_e = A-A(A+O^{+})^{-1}(A+O) = A-A(A+O^{+})^{-1}(A+O^{+}+O^{-}) = -A(A+O^{+})^{-1}O^{-}$$
$$-A(A+O^{+})^{-1}O^{-} \phi= s-A(A + O^{+})^{-1}s$$
$$-O^{-} \phi= (A + O^{+})A^{-1}s-s = O^{+}A^{-1}s$$
$$A(O^{+})^{-1}(-O^{-})\phi = s$$
$$A (I- (O^{+})^{-1}O)\phi = s$$
矩阵 $D$ 的性质 ?
对于一维
$$O = \begin{bmatrix} -As & 0\\0 & As\\\end{bmatrix}$$
$$O^{+} = \begin{bmatrix} -Asi & 0\\0 & Aso\\\end{bmatrix}$$
$$O^{-} = \begin{bmatrix} -Aso & 0\\0 & Asi\\\end{bmatrix}$$
$$L =\frac{1}{2} As\begin{bmatrix} -1 & 1\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$
$$L+L^{T} =O$$
$$L-L^{T} =\begin{bmatrix} 0 & As\ -As & 0\\\end{bmatrix}$$
$$O^{+}-L^{T} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} Aso-Asi & As\-As & Aso-Asi\\\end{bmatrix}$$
$$L-O^{-} = O^{+} - L^{T}$$
FSGS
最终要求解的代数方程组为
$$K\phi = F$$
其中 $F = Es$，所以
$$K = A-BD^{-1}C = -L^{T}+R + O^{+} -(-L^{T}+R)D^{-1}(L+R)$$
$$K = -L^{T}+R+ O^{+} + L^{T}D^{-1}L + L^{T}D^{-1}R -RD^{-1}L - RD^{-1}R$$
$$E = I-(-L^{T}+R)D^{-1} = I+L^{T}D^{-1} - RD^{-1}$$
对于非真空区域，令 $D=R$，此时
$$K = -L^{T}+R+ O^{+} + L^{T}R^{-1}L + L^{T} -L - R = O^{+} + L^{T}R^{-1}L -L$$
$$E = L^{T}R^{-1}$$
对于真空区域，令 $D = I$，此时
$$K = O^{+} + L^{T}L -L $$
$$E = L^{T}$$