代数方程的物理含义

通常情况下我们使用偏微分方程组来描述物理现象，然后将该方程通过数值离散为一个代数方程来进行求解。然而，在这里，我直接从守恒关系出发，直接研究代数方程的物理含义。

代数方程

代数方程是一个矩阵乘以一个未知向量等于一个已知向量的方程，表示如下
$\mathbf{A}\vec{x}=\vec{b}$

第i行可以表示为
$\sum_{j}a_{ij}x_{j}=b_{i}$

另$a_{ij}x_{j}=f_{ij}$，所以
$\sum_{j}f_{ij}=b_{i}$

守恒关系

该方程代表一种物理守恒关系，右端项$b_{i}$表示节点$i$产生的量，左端项$\sum_{j}f_{ij}$表示节点$i$消失的量。其中$f_{ij},i\ne j$表示从节点 $i$ 通过对流或扩散转移到节点 $j$ 的量，其中$f_{ii}$表示从节点 $i$ 处发生反应消失的量。

由于$f_{ij} = a_{ij}x_{j}$，所以系数$a_{ij}$可以看成一个权重系数，即从节点 $i$ 转移到节点 $j$ 的量可以用节点 $j$ 的量的一个权重表示。

由于$a_{ij}$的一些性质，实际上 $f_{ij}$ 并不一定定义为 $a_{ij}x_{j}$，但一定要保证守恒关系。

矩阵性质

在物理上，通常右端项 $\vec{b}$ 为源项，是非负的，这种情况下要求未知量 $\vec{x}$ 也是非负的。此时矩阵 $\mathbf{A}$ 必须有一些特殊的性质。

M-Matrix

代数方程的解为
$\vec{x} = \mathbf{A}^{-1}\vec{b}$

由于 $\vec{b}$ 取任意非负值时，解 $\vec{x}$ 都必须为非负值，所以$\mathbf{A}^{-1}$的所有元素都必须为非负值。此时矩阵 $\mathbf{A}$ 被称为 单调矩阵。

一个非对角元上只有非正值的单调矩阵被称为 M-Matrix

如果矩阵 $\mathbf{A}$ 有以下性质，则$\mathbf{A}$ 是M-Matrix

1. $a_{ii}>0,∀ i$
2. $a_{ij}\le0,∀ j\ne i$
3. $\sum{a_{ij}}\ge 0,∀ i$

证明：
$\mathbf{A}=\mathbf{D}-\mathbf{C}$
其中$\mathbf{D}= diag(\mathbf{A})>0$为$\mathbf{A}$的对角元素，$\mathbf{C} \ge 0$为$\mathbf{A}$的非对角元，所以
$\mathbf{A}^{-1}=(\mathbf{D}-\mathbf{C})^{-1} = [\mathbf{D}(\mathbf{I}-\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C})]^{-1} = (\mathbf{I}-\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{D}^{-1}$
另 $\mathbf{B}=\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C} \ge 0$，由于是对角占优的，所以$\mathbf{B}$的谱半径$\rho(\mathbf{B})<1$，所以以下级数是收敛的
$(\mathbf{I}-\mathbf{B})^{-1}=\mathbf{I}+\mathbf{B}+\mathbf{B}^2+\mathbf{B}^3+ …$
所以$\mathbf{A}^{-1}$的所有元素都为非负值