通量分解

通量在求解区域应该满足平衡方程，这种平衡关系反应了输运方程的物理本质，其中包含以下几点

1. 相邻的两个节点通量会互相交换
2. 一个节点上增加的量必须从另一个节点上减去
3. 通量可以通过边界互相交换
4. 通量能够通过反应减少
5. 通量是由源产生的

前三点通过输运方程第一项（泄露项）反应，第四点通过第二项（移出项）反应，第五点由方程右端项反应。同时第三点也通过边界条件进行反应。

数值通量

通过定义数值通量$\mathbf{\Phi}$来反应相邻节点间的通量交换关系。其中$\mathbf{\Phi}$是一个稀疏矩阵，其稀疏性与网格的稀疏模式一致。其元素$\Phi_{ij}$表示从节点$j$转移到节点$i$的通量，显然$\Phi_{ij}=-\Phi_{ji}$，即从节点$i$转移到节点$j$的等于负的节点$j$转移到节点$i$的量。即矩阵$\mathbf{\Phi}$是一个反对称矩阵。

通量在节点间的转移量通过输运方程第一项 (泄露项) 表示，有限元离散之后的半离散格式为 $\sum_{j}\mathbf{c}_{ij}\phi_{j}$， 由于$\sum_{j}\mathbf{c}_{ij} = 0$，所以转移到节点 $i$ 的量为
$\sum_{j}\Phi_{ij} = \sum_{j}\mathbf{c}_{ij}\phi_{j} = \sum_{j}\mathbf{c}_{ij}\phi_{j} + \phi_{i}\sum_{j}\mathbf{c}_{ij} = \sum_{j}\mathbf{c}_{ij}(\phi_{i}+\phi_{j})$

可以将系数$\mathbf{c}_{ij}$分解为反对称的$\mathbf{a}_{ij}$和对称的$\mathbf{b}_{ij}$，其中
$\mathbf{c}_{ij} = (\mathbf{a}_{ij}+\mathbf{b}_{ij})/2$
$\mathbf{a}_{ij} = \mathbf{c}_{ij}-\mathbf{c}_{ji}$
$\mathbf{b}_{ij} = \mathbf{c}_{ij}+\mathbf{c}_{ji}$

所以
$\sum_{j}(\mathbf{a}_{ij}+\mathbf{b}_{ij})(\phi_{i}+\phi_{j})/2 = \sum_{j}\Phi_{ij}$

通量分解为
$\Phi_{ij} = \mathbf{a}_{ij}(\phi_{i}+\phi_{j})/2, \forall j \ne i$
$\Phi_{ii} =\sum_{j} \mathbf{b}_{ij}(\phi_{i}+\phi_{j})/2$

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