一阶中子输运方程galerkin离散

对一阶中子输运方程直接进行Galerkin离散然后分部积分并将边界条件带入边界积分项与不进行分部积分而是方程直接减去galerkin离散后的边界条件是等价的。与将两个方程相加除二得到的方程也是等价的。 这与带约束的变分原理中拉格朗日乘子法很相似，其中拉格朗日乘子为 -1。

输运方程

$$Ω⋅∇ϕ+σϕ = s$$

弱形式

$$(φ,Ω⋅∇ϕ)+(φ,σϕ) = (φ,s)$$

分部积分

$$<φ,Ω⋅nϕ> - (Ω⋅∇φ,ϕ)+(φ,σϕ) = (φ,s)$$

边界条件

$$<φ,Ω⋅nϕ>^{-} = G$$

带边界条件的方程

$$<φ,Ω⋅nϕ>^{+} - (Ω⋅∇φ,ϕ)+(φ,σϕ) = (φ,s) - G$$

再分部积分

$$<φ,Ω⋅nϕ>^{+} -<φ,Ω⋅nϕ> + (φ,Ω⋅∇ϕ)+(φ,σϕ) = (φ,s) - G$$

带边界条件的原方程

$$-<φ,Ω⋅nϕ>^{-} + (φ,Ω⋅∇ϕ)+(φ,σϕ) = (φ,s)-G$$
该方程实际上就是原方程减去边界上的方程。

相加除2

$$[<φ,Ω⋅nϕ>^{+}-<φ,Ω⋅nϕ>^{-}] /2 + [(φ,Ω⋅∇ϕ)- (Ω⋅∇φ,ϕ)]/2+(φ,σϕ) = (φ,s)-G$$

矩阵形式

定义
$$C = (φ,Ω⋅∇φ)$$

$$R = (φ,σφ)$$

$$O = <φ,Ω⋅nφ>$$

$$O^{+} = <φ,Ω⋅nφ>^{+}$$

$$O^{-} = <φ,Ω⋅nφ>^{-}$$

$$b = (φ,s)-G$$
所以
$$C+C^{T} = O = O^{+} + O^{-}$$
$$C - O^{-}= -C^{T}+ O^{+} = (C-C^{T})/2+(O^{+}-O^{-})/2$$

所以以下三个方程是完全等价的
$$[C - O^{-}+R]ϕ = b$$
$$[ -C^{T}+ O^{+}+R]ϕ = b$$
$$[ (C-C^{T})/2+(O^{+}-O^{-})/2+R]ϕ = b$$