三角形单元

发表于 | 分类于

本文解析的推导了线性三角形单元的基函数及其相关积分。将所有与基函数相关积分都用节点的实际坐标表示，并将其写成向量乘积的形式，这样在计算单元刚度矩阵时就不用使用数值积分而可以直接使用解析形式，而且如果采用无矩阵方法，单元矩阵与向量的乘积只需要很少的计算量。

形状函数

$\vec{N}(r) = [λ_1,λ_2,λ_3]^{T}$
$\frac{\partial \vec{N}(r)}{\partial x} = \frac{[b_1,b_2,b_3]^{T}}{2Δ}$
$\frac{\partial \vec{N}(r)}{\partial y} = \frac{[c_1,c_2,c_3]^{T}}{2Δ}$

其中

$b_1 = y_2-y_3$
$b_2 = y_3-y_1$
$b_3 = y_1-y_2$

$c_1 = x_3-x_2$
$c_2 = x_1-x_3$
$c_3 = x_2-x_1$

$2Δ=c_3b_2-b_3c_2$

欧拉公式

$\int_{s}λ_1^aλ_2^bλ_3^cdxdy=\frac{a!b!c!}{(a+b+c+2)!}2Δ$

得

$\int_sdxdy = \frac{1}{2}2Δ$
$\int_sλ_idxdy = \frac{1}{6}2Δ \,\,\,\,\, i=1,2,3$
$\int_sλ_i^2dxdy = \frac{1}{12}2Δ \,\,\,\,\, i=1,2,3$
$\int_sλ_iλ_jdxdy = \frac{1}{24}2Δ \,\,\,\,\, i=1,2,3;j=1,2,3,i≠j$

单元矩阵

$\mathbf{B}_{Γ}=\int_{Γ}\vec{N}(r)[\vec{N}]^{T}(r)dΓ=\frac{l}{6}(\vec{I}\vec{I}^T+\mathbf{I})$

$\mathbf{B}_{11}=\int_{e}\vec{N}(r)[\vec{N}]^{T}(r)dr=\frac{2Δ}{24}(\vec{I}\vec{I}^T+\mathbf{I})$

$\mathbf{B}_{x1}=\int_{e}\frac{\partial \vec{N}(r)}{\partial x}[\vec{N}]^{T}(r)dr=\frac{1}{6}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}\vec{I}^T$

$\mathbf{B}_{y1}=\int_{e}\frac{\partial \vec{N}(r)}{\partial x}[\vec{N}]^{T}(r)dr=\frac{1}{6}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{bmatrix}\vec{I}^T$

$\vec{b}=\int_{e}\vec{N}(r)dr=\frac{2Δ}{6}\vec{I}$

与向量乘积

移出项

$[\mathbf{B}_{11}\mathbf{X}\mathbf{Σ}]_{\vec{e},j}= \int_{e}\vec{N}(r)[\vec{N}]^{T}(r)dr = \frac{2Δ}{24}(\vec{I}\vec{I}^T+\mathbf{I})\begin{bmatrix}\phi_{e(1),j}\\\phi_{e(2),j}\\\phi_{e(3),j}\end{bmatrix}Σ_{j}$

$= \frac{2ΔΣ_{j}}{24}(sum(\phi_{\vec{e},j})+\begin{bmatrix}\phi_{e(1),j}\\\phi_{e(2),j}\\\phi_{e(3),j}\end{bmatrix})$

对流项

  • X方向

$-[\mathbf{B}_{x1}\mathbf{X}\mathbf{A}_x]_{\vec{e},j} = -\frac{1}{6}\begin{bmatrix}y_2-y_3\\y_3-y_1\\y_1-y_2\end{bmatrix}sum(\phi^{x}_{\vec{e},j})$

其中

$\phi^{x}=\mathbf{X}\mathbf{A}_x$

  • Y方向

$-[\mathbf{B}_{y1}\mathbf{X}\mathbf{A}_y]_{\vec{e},j} = -\frac{1}{6}\begin{bmatrix}x_3-x_2\\x_1-x_3\\x_2-x_1\end{bmatrix}sum(\phi^{y}_{\vec{e},j})$

其中

$\phi^{y}=\mathbf{X}\mathbf{A}_y$

边界项

$[\mathbf{B}_{Γ}\mathbf{X}\mathbf{A}_{n}]_{\vec{e},j}=\frac{l}{6}(\vec{I}\vec{I}^T+\mathbf{I})\begin{bmatrix}\phi^{n}_{e(1),j}\\\phi^{n}_{e(2),j}
\end{bmatrix} = \frac{l}{6}(sum(\phi^{n}_{\vec{e},j})+\begin{bmatrix}\phi^{n}_{e(1),j}\\\phi^{n}_{e(2),j}\end{bmatrix})$

右端项

$[\vec{b}[\vec{s}]^{T}]_{\vec{e},j} = \frac{2Δ}{6}\vec{I}s_{j}$